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多项式部分简介

Basic Concepts¶

多项式的度¶

对于一个多项式 $f(x)$ ，称其最高次项的次数为该多项式的 度（Degree），记作 $\operatorname{deg}{f}$ 。

多项式的乘法¶

最核心的操作是两个多项式的乘法，即给定多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ ：

$f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\quad \quad (1)\\ g(x)=b_0+b_1x+\dots+b_mx^m\quad \quad (2)$

要计算多项式 $Q(x)=f(x)\cdot g(x)$ ：

$\boxed {Q(x) = \sum \limits_ {i = 0} ^ n \sum \limits_ {j = 0 } ^ m a_i b_j x ^ {i + j}} = c_0 + c_1 x + \dots + c_ {n + m} x ^ {n + m}$

上述过程可以通过快速傅里叶变换在 $O(n\log n)$ 下计算。

多项式的逆元¶

对于多项式 $f(x)$ ，若存在 $g(x)$ 满足：

$\begin{aligned} f(x) g(x) & \equiv 1 \pmod{x^{n}} \end{aligned}$

则称 $g(x)$ 为 $f(x)$ 在模 $x^{n}$ 意义下的 逆元（Inverse Element），记作 $f^{-1}(x)$ 。若要求 $\operatorname{deg}{g} < n$ ，则此时 $g$ 唯一。

多项式的余数和商¶

对于多项式 $f(x), g(x)$ ，存在唯一的 $Q(x), R(x)$ 满足：

$\begin{aligned} f(x) &= Q(x) g(x) + R(x) \\ \operatorname{deg}{R} &< \operatorname{deg}{g} \end{aligned}$

当 $\operatorname{deg}{f} \ge \operatorname{deg}{g}$ 时有 $\operatorname{deg}{Q} = \operatorname{deg}{f} - \operatorname{deg}{g}$ ，否则有 $Q(x) = 0$ 。我们称 $Q(x)$ 为 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的 商（Quotient）， $R(x)$ 为 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的 余数（Remainder）。亦可记作

$f(x) \equiv R(x) \pmod{g(x)}$

多项式的对数函数与指数函数¶

对于一个多项式 $f(x)$ ，可以将其对数函数看作其与麦克劳林级数的复合：

$\ln{(1 - f(x))} = -\sum_{i = 1}^{+\infty} \frac{f^{i}(x)}{i}\\ \ln{(1 + f(x))} = \sum_{i = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{i - 1}f^{i}(x)}{i}$

其指数函数同样可以这样定义：

$\exp{f(x)} = e^{f(x)} = \sum_{i = 0}^{+\infty} \frac{f^{i}(x)}{i!}$

多项式的多点求值和插值¶

多项式的多点求值（Multi-point evaluation） 即给出一个多项式 $f(x)$ 和 $n$ 个点 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，求

$f(x_{1}), f(x_{2}), \dots, f(x_{n})$

多项式的插值（Interpolation） 即给出 $n + 1$ 个点

$(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n}, y_{n})$

求一个 $n$ 次多项式 $f(x)$ 使得这 $n + 1$ 个点都在 $f(x)$ 上。

这两种操作的实质就是将多项式在 系数表示 和 点值表示 间转化。

参考资料与拓展阅读¶

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