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极坐标系

极坐标与极坐标系¶

（本节为旧人教版高中数学选修 4-4 内容）

我们考虑实际情况，比如航海，我们说「点 $B$ 在点 $A$ 的北偏东 $30^\circ$ 方向上，距离为 $100$ 米」，而不是「以 $A$ 为原点建立平面直角坐标系， $B(50,50\sqrt 3)$ 」。

这样，我们在平面上选一定点 $O$ ，称为极点，自极点引出一条射线 $Ox$ ，称为极轴，再选择一个单位长度（在数学问题中通常为 $1$ ），一个角度单位（通常为弧度）及其正方向（通常为逆时针方向），这样就建立了 极坐标系。

在极坐标系下，我们怎么描述位置呢？

设 $A$ 为平面上一点，极点 $O$ 与 $A$ 之间的距离 $|OA|$ 即为极径，记为 $\rho$ ；以极轴为始边， $OA$ 为终边的角 $\angle xOA$ 为极角，记为 $\theta$ ，那么有序数对 $(\rho,\theta)$ 即为 $A$ 的 极坐标。

由终边相同的角的定义可知， $(\rho,\theta)$ 与 $(\rho,\theta+2k\pi)\ (k\in \mathbb{Z})$ 其实表示的是一样的点，特别地，极点的极坐标为 $(0,\theta)\ (\theta\in \mathbb{R})$ ，于是平面内的点的极坐标表示有无数多种。

如果规定 $\rho>0,0\le \theta<2\pi$ ，那么除极点外，其他平面内的点可以用唯一有序数对 $(\rho,\theta)$ 表示，而极坐标 $(\rho,\theta)$ 表示的点是唯一确定的。

当然，有时候研究极坐标系下的图形有些不方便，我们想要转到直角坐标系下研究，那么我们有互化公式。

点 $A(\rho,\theta)$ 的直角坐标 $(x,y)$ 可以如下表示：

$\begin{cases} x=\rho \cos \theta\\ y=\rho \sin \theta \end{cases}$

进而可知：

$\rho ^2=x^2+y^2\\ \tan \theta=\frac{y}{x}\ \ \ \ (x\not =0)$

于是，极角 $\theta=\arctan \frac{y}{x}$ ，这样就可以求出极角了。

在编程中，若要求反正切函数，尽量使用 atan2(y, x)，这个函数用途比 atan(x) 广泛。

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