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李超线段树

引入¶

洛谷 4097 [HEOI2013]Segment

要求在平面直角坐标系下维护两个操作（强制在线）：

在平面上加入一条线段。记第 $i$ 条被插入的线段的标号为 $i$ ，该线段的两个端点分别为 $(x_0,y_0)$ ， $(x_1,y_1)$ 。
给定一个数 $k$ ，询问与直线 $x = k$ 相交的线段中，交点纵坐标最大的线段的编号（若有多条线段与查询直线的交点纵坐标都是最大的，则输出编号最小的线段）。特别地，若不存在线段与给定直线相交，输出 $0$ 。

数据满足：操作总数 $1 \leq n \leq 10^5$ ， $1 \leq k, x_0, x_1 \leq 39989$ ， $1 \leq y_0, y_1 \leq 10^9$ 。

我们发现，传统的线段树无法很好地维护这样的信息。这种情况下，李超线段树 便应运而生。

概述¶

我们设法维护每个区间中，可能成为最优解的线段。

称一条线段在 $x=x_0$ 处最优，当且仅当该线段在 $x_0$ 处取值最大。

称一条线段能成为区间 $[l,r]$ 中的 最优线段，当且仅当：

该线段的定义域完整覆盖了区间 $[l,r]$ ；
该线段在区间中点处最优。

现在我们需要插入一条线段 $f$ ，在这条线段完整覆盖的区间中，某些区间的最优线段可能发生改变。

考虑某个被新线段 $f$ 完整覆盖的区间，若该区间无最优线段，则该线段可以直接成为最优线段。

否则，设该区间的中点为 $m$ ，我们拿新线段 $f$ 在中点处的值与原最优线段 $g$ 在中点处的值作比较。

首先，如果新线段 $f$ 斜率大于原线段 $g$ ，

如果 $f$ 在 $m$ 处更优，则 $f$ 在右半区间一定最优， $g$ 在左半区间可能最优；

k_f > k_gk_f > k_g，f(m) > g(m)f(m) > g(m)

反之， $g$ 在左半区间一定最优， $f$ 在右半区间可能最优。

k_f > k_gk_f > k_g，f(m) < g(m)f(m) < g(m)

接下来考虑 $f$ 斜率小于 $g$ 的情况，

如果 $f$ 在 $m$ 处更优，则 $f$ 在左半区间一定最优， $g$ 在右半区间可能最优；

k_f <k_gk_f <k_g，f(m) > g(m)f(m) > g(m)

反之， $g$ 在右半区间一定最优， $f$ 在左半区间可能最优。

k_f <k_gk_f <k_g，f(m) < g(m)f(m) < g(m)

最后考虑新线段和旧线段斜率相同的情况，此时只需比较截距即可，截距大的一定在整个区间内更优。

确定完当前区间的最优线段后，我们需要递归进入子区间，更新最优线段可能改变的区间。

这样的过程与一般线段树的递归过程类似，因此我们可以使用线段树来维护。

现在考虑如何查询一个区间的最优线段。

查询过程利用了标记永久化的思想，简单地说，我们将所有包含 $x_0$ 区间（易知这样的区间只有 $O(\log n)$ 个）的最优线段拿出来，在这些线段中比较，从而得出最优线段。

根据上面的描述，查询过程的时间复杂度显然为 $O(\log n)$ ，而插入过程中，我们需要将原线段分割到 $O(\log n)$ 个区间中，对于每个区间，我们又需要花费 $O(\log n)$ 的时间更新该区间以及其子区间的最优线段，从而插入过程的时间复杂度为 $O(\log^2 n)$ 。

[HEOI2013]Segment 参考代码

#include <iostream>
#include <string>
#define MOD1 39989
#define MOD2 1000000000
#define MAXT 40000
using namespace std;
typedef pair<double, int> pdi;

struct line {
  double k, b;
} p[100005];

int s[160005];
int cnt;

double calc(int id, int d) { return p[id].b + p[id].k * d; }

void add(int x0, int y0, int x1, int y1) {
  cnt++;
  if (x0 == x1)  // 特判直线斜率不存在的情况
    p[cnt].k = 0, p[cnt].b = max(y0, y1);
  else
    p[cnt].k = 1.0 * (y1 - y0) / (x1 - x0), p[cnt].b = y0 - p[cnt].k * x0;
}

void update(int root, int cl, int cr, int l, int r, int u) {  // 更新值
  int v = s[root], mid = (cl + cr) >> 1;
  int ls = root << 1, rs = root << 1 | 1;
  double resu = calc(u, mid), resv = calc(v, mid);
  if (r < cl || cr < l) return;  // 区间问题
  if (l <= cl && cr <= r) {
    if (cl == cr) {
      if (resu > resv) s[root] = u;
      return;
    }  // 从此之下都是分段更新
    if (p[v].k < p[u].k) {
      if (resu > resv) {
        s[root] = u;
        update(ls, cl, mid, l, r, v);
      } else
        update(rs, mid + 1, cr, l, r, u);
    } else if (p[v].k > p[u].k) {
      if (resu > resv) {
        s[root] = u;
        update(rs, mid + 1, cr, l, r, v);
      } else
        update(ls, cl, mid, l, r, u);
    } else {
      if (p[u].b > p[v].b) s[root] = u;
    }
    return;
  }
  update(ls, cl, mid, l, r, u);
  update(rs, mid + 1, cr, l, r, u);
}

pdi pmax(pdi x, pdi y) {  // pair max函数
  if (x.first < y.first)
    return y;
  else if (x.first > y.first)
    return x;
  else
    return x.second < y.second ? x : y;
}

pdi query(int root, int l, int r, int d) {  // 查询
  if (r < d || d < l) return {0, 0};
  int mid = (l + r) >> 1;
  double res = calc(s[root], d);
  if (l == r) return {res, s[root]};
  return pmax({res, s[root]}, pmax(query(root << 1, l, mid, d),
                                   query(root << 1 | 1, mid + 1, r, d)));
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  int n, lastans = 0;
  cin >> n;
  while (n--) {
    int op;
    cin >> op;
    if (op == 1) {
      int x0, y0, x1, y1;
      cin >> x0 >> y0 >> x1 >> y1;
      x0 = (x0 + lastans - 1 + MOD1) % MOD1 + 1,
      x1 = (x1 + lastans - 1 + MOD1) % MOD1 + 1;
      y0 = (y0 + lastans - 1 + MOD2) % MOD2 + 1,
      y1 = (y1 + lastans - 1 + MOD2) % MOD2 + 1;
      if (x0 > x1) swap(x0, x1), swap(y0, y1);
      add(x0, y0, x1, y1);
      update(1, 1, MOD1, x0, x1, cnt);
    } else {
      int x;
      cin >> x;
      x = (x + lastans - 1 + MOD1) % MOD1 + 1;
      cout << (lastans = query(1, 1, MOD1, x).second) << endl;
    }
  }
  return 0;
}

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