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二分

本页面将简要介绍二分查找，由二分法衍生的三分法以及二分答案。

二分法¶

简介¶

二分查找（英语：binary search），也称折半搜索（英语：half-interval search）、对数搜索（英语：logarithmic search），是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。

工作原理¶

以在一个升序数组中查找一个数为例。

它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需到右侧查找；如果中间元素大于所查找的值同理，只需到左侧查找。

性质¶

时间复杂度¶

二分查找的最优时间复杂度为 $O(1)$ 。

二分查找的平均时间复杂度和最坏时间复杂度均为 $O(\log n)$ 。因为在二分搜索过程中，算法每次都把查询的区间减半，所以对于一个长度为 $n$ 的数组，至多会进行 $O(\log n)$ 次查找。

空间复杂度¶

迭代版本的二分查找的空间复杂度为 $O(1)$ 。

递归（无尾调用消除）版本的二分查找的空间复杂度为 $O(\log n)$ 。

代码实现¶

int binary_search(int start, int end, int key) {
  int ret = -1;  // 未搜索到数据返回-1下标
  int mid;
  while (start <= end) {
    mid = start + ((end - start) >> 1);  // 直接平均可能会溢出，所以用这个算法
    if (arr[mid] < key)
      start = mid + 1;
    else if (arr[mid] > key)
      end = mid - 1;
    else {  // 最后检测相等是因为多数搜索情况不是大于就是小于
      ret = mid;
      break;
    }
  }
  return ret;  // 单一出口
}

Note

对于 $n$ 是有符号数的情况，当你可以保证 $n\ge 0$ 时，n >> 1 比 n / 2 指令数更少。

最大值最小化¶

注意，这里的有序是广义的有序，如果一个数组中的左侧或者右侧都满足某一种条件，而另一侧都不满足这种条件，也可以看作是一种有序（如果把满足条件看做 $1$ ，不满足看做 $0$ ，至少对于这个条件的这一维度是有序的）。换言之，二分搜索法可以用来查找满足某种条件的最大（最小）的值。

要求满足某种条件的最大值的最小可能情况（最大值最小化），首先的想法是从小到大枚举这个作为答案的「最大值」，然后去判断是否合法。若答案单调，就可以使用二分搜索法来更快地找到答案。因此，要想使用二分搜索法来解这种「最大值最小化」的题目，需要满足以下三个条件：

答案在一个固定区间内；
可能查找一个符合条件的值不是很容易，但是要求能比较容易地判断某个值是否是符合条件的；
可行解对于区间满足一定的单调性。换言之，如果 $x$ 是符合条件的，那么有 $x + 1$ 或者 $x - 1$ 也符合条件。（这样下来就满足了上面提到的单调性）

当然，最小值最大化是同理的。

STL 的二分查找¶

C++ 标准库中实现了查找首个不小于给定值的元素的函数 std::lower_bound 和查找首个大于给定值的元素的函数 std::upper_bound，二者均定义于头文件 <algorithm> 中。

二者均采用二分实现，所以调用前必须保证元素有序。

bsearch¶

bsearch 函数为 C 标准库实现的二分查找，定义在 <stdlib.h> 中。在 C++ 标准库里，该函数定义在 <cstdlib> 中。qsort 和 bsearch 是 C 语言中唯二的两个算法类函数。

bsearch 函数相比 qsort（排序相关 STL）的四个参数，在最左边增加了参数“待查元素的地址”。之所以按照地址的形式传入，是为了方便直接套用与 qsort 相同的比较函数，从而实现排序后的立即查找。因此这个参数不能直接传入具体值，而是要先将待查值用一个变量存储，再传入该变量地址。

于是 bsearch 函数总共有五个参数：待查元素的地址、数组名、元素个数、元素大小、比较规则。比较规则仍然通过指定比较函数实现，详见排序相关 STL。

bsearch 函数的返回值是查找到的元素的地址，该地址为 void 类型。

注意：bsearch 与上文的 lower_bound 和 upper_bound 有两点不同：

当符合条件的元素有重复多个的时候，会返回执行二分查找时第一个符合条件的元素，从而这个元素可能位于重复多个元素的中间部分。
当查找不到相应的元素时，会返回 NULL。

用 lower_bound 可以实现与 bsearch 完全相同的功能，所以可以使用 bsearch 通过的题目，直接改写成 lower_bound 同样可以实现。但是鉴于上述不同之处的第二点，例如，在序列 1、2、4、5、6 中查找 3，bsearch 实现 lower_bound 的功能会变得困难。

利用 bsearch 实现 lower_bound 的功能比较困难，是否一定就不能实现？答案是否定的，存在比较 tricky 的技巧。借助编译器处理比较函数的特性：总是将第一个参数指向待查元素，将第二个参数指向待查数组中的元素，也可以用 bsearch 实现 lower_bound 和 upper_bound，如下文示例。只是，这要求待查数组必须是全局数组，从而可以直接传入首地址。

int A[100005];  // 示例全局数组

// 查找首个不小于待查元素的元素的地址
int lower(const void *p1, const void *p2) {
  int *a = (int *)p1;
  int *b = (int *)p2;
  if ((b == A || compare(a, b - 1) > 0) && compare(a, b) > 0)
    return 1;
  else if (b != A && compare(a, b - 1) <= 0)
    return -1;  // 用到地址的减法，因此必须指定元素类型
  else
    return 0;
}

// 查找首个大于待查元素的元素的地址
int upper(const void *p1, const void *p2) {
  int *a = (int *)p1;
  int *b = (int *)p2;
  if ((b == A || compare(a, b - 1) >= 0) && compare(a, b) >= 0)
    return 1;
  else if (b != A && compare(a, b - 1) < 0)
    return -1;  // 用到地址的减法，因此必须指定元素类型
  else
    return 0;
}

因为现在的 OI 选手很少写纯 C，并且此方法作用有限，所以不是重点。对于新手而言，建议老老实实地使用 C++ 中的 lower_bound 和 upper_bound 函数。

二分答案¶

解题的时候往往会考虑枚举答案然后检验枚举的值是否正确。若满足单调性，则满足使用二分法的条件。把这里的枚举换成二分，就变成了“二分答案”。

Luogu P1873 砍树

伐木工人米尔科需要砍倒 $M$ 米长的木材。这是一个对米尔科来说很容易的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以像野火一样砍倒森林。不过，米尔科只被允许砍倒单行树木。

米尔科的伐木机工作过程如下：米尔科设置一个高度参数 $H$ （米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 $H$ ，并锯掉所有的树比 $H$ 高的部分（当然，树木不高于 $H$ 米的部分保持不变）。米尔科就得到树木被锯下的部分。

例如，如果一行树的高度分别为 $20,~15,~10,~17$ ，米尔科把锯片升到 $15$ 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 $15,~15,~10,~15$ ，而米尔科将从第 $1$ 棵树得到 $5$ 米木材，从第 $4$ 棵树得到 $2$ 米木材，共 $7$ 米木材。

米尔科非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这正是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。你的任务是帮助米尔科找到伐木机锯片的最大的整数高度 $H$ ，使得他能得到木材至少为 $M$ 米。即，如果再升高 $1$ 米锯片，则他将得不到 $M$ 米木材。

解题思路

我们可以在 $1$ 到 $10^9$ 中枚举答案，但是这种朴素写法肯定拿不到满分，因为从 $1$ 枚举到 $10^9$ 太耗时间。我们可以在 $[1,~10^9]$ 的区间上进行二分作为答案，然后检查各个答案的可行性（一般使用贪心法）。这就是二分答案。

参考代码

int a[1000005];
int n, m;

bool check(int k) {  // 检查可行性，k 为锯片高度
  long long sum = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++)       // 检查每一棵树
    if (a[i] > k)                    // 如果树高于锯片高度
      sum += (long long)(a[i] - k);  // 累加树木长度
  return sum >= m;                   // 如果满足最少长度代表可行
}

int find() {
  int l = 1, r = 1e9 + 1;   // 因为是左闭右开的，所以 10^9 要加 1
  while (l + 1 < r) {       // 如果两点不相邻
    int mid = (l + r) / 2;  // 取中间值
    if (check(mid))         // 如果可行
      l = mid;              // 升高锯片高度
    else
      r = mid;  // 否则降低锯片高度
  }
  return l;  // 返回左边值
}

int main() {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
  cout << find();
  return 0;
}

看完了上面的代码，你肯定会有两个疑问：

为何搜索区间是左闭右开的？

因为搜到最后，会这样（以合法的最大值为例）：

然后会

合法的最小值恰恰相反。
为何返回左边值？

同上。

三分法¶

简介¶

三分法可以用来查找凸函数的最大（小）值。

画一下图能够帮助理解（图待补）

如果 lmid 和 rmid 在最大（小）值的同一侧：由于单调性，一定是二者中较大（小）的那个离最值近一些，较远的那个点对应的区间不可能包含最值，所以可以舍弃。
如果在两侧：由于最值在二者中间，我们舍弃两侧的一个区间后，也不会影响最值，所以可以舍弃。

代码实现¶

lmid = left + (right - left >> 1);
rmid = lmid + (right - lmid >> 1);  // 对右侧区间取半
if (cal(lmid) > cal(rmid))
  right = rmid;
else
  left = lmid;

分数规划¶

参见：分数规划

分数规划通常描述为下列问题：每个物品有两个属性 $c_i$ ， $d_i$ ，要求通过某种方式选出若干个，使得 $\frac{\sum{c_i}}{\sum{d_i}}$ 最大或最小。

经典的例子有最优比率环、最优比率生成树等等。

分数规划可以用二分法来解决。

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二分

二分法¶

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最大值最小化¶

STL 的二分查找¶

bsearch¶

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三分法¶

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分数规划¶

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